Los babilonios se adelantaron en más de mil años a los griegos en la invención de la trigonometría

Foto: La tablilla babilónica Plimpton 322 presenta cuatro columnas (separadas por tres hendiduras) y 15 filas de números cuneiformes, pero seguramente tuvo más porque está fragmentada. / UNSW/Andrew Kelly.

El arqueólogo que inspiró el personaje de Indiana Jones, el estadounidense Edgar Banks, descubrió hace un siglo en Irak una enigmática tablilla babilónica repleta de números cuneiformes. Tras un siglo de debates matemáticos, investigadores australianos desvelan ahora su secreto: se trata de una tabla trigonométrica de hace 3.800 años, la más antigua conocida hasta la fecha, que enseña como hacer cálculos trigonométricos sin ángulos y con una precisión sin precedentes.

Foto: El profesor Daniel Mansfield enseña la tablilla Plimpton 322, que se conserva en la Biblioteca de Manuscritos y Libros Raros de la Universidad de Columbia, en Nueva York. / UNSW/Andrew Kelly.

Dos investigadores de la Universidad de Nueva Gales del Sur (UNSW, Australia) han analizado una famosa tablilla de arcilla babilónica, datada entre entre 1822 y 1762 antes de Cristo, y han descubierto que se trata de la tabla trigonométrica más antigua y precisa del mundo. Posiblemente los antiguos escribas matemáticos las utilizaban para realizar los cálculos necesarios para levantar templos, palacios, canales y otras construcciones.


El estudio confirma que los babilonios se adelantaron en más de mil años a los griegos en la invención de la trigonometría (el estudio de los triángulos) y muestra un sofisticado y antiguo conocimiento matemático que había permanecido oculto hasta ahora.

La tablilla, denominada Plimpton 322, fue descubierta en la primera década del siglo XX, en lo que ahora es el sur de Irak, por el diplomático, arqueólogo, académico y comerciante de antigüedades Edgar J. Banks, el personaje real en el que se basó otro de ficción mucho más popular: Indiana Jones.

En esta tablilla aparecen grabadas, con la escritura cuneiforme de la época, una serie de cuatro columnas y 15 filas de números que siguen un original sistema sexagesimal (de base 60, como nuestro sistema horario), en lugar del sistema decimal con base 10 que utilizamos hoy en día. Las cifras describen una secuencia de 15 triángulos rectángulos, que van reduciendo su inclinación y 'aplanando' fila tras fila.

Basándose en estudios previos y observando que el borde izquierdo de la arcilla está roto, los investigadores plantean que Plimpton 322 tuvo originalmente seis columnas y probablemente debía estar formada por 38 filas de caracteres cuneiformes.

Ternas pitagóricas mucho antes de Pitágoras

"Esta tablilla lleva desconcertado a los matemáticos desde hace más de 70 años, porque se dieron cuenta de que contiene un patrón especial de números llamado terna pitagórica", explica uno de los autores, Daniel Mansfield, de la Escuela de Matemáticas y Estadística de la UNSW en Sidney.

Una terna pitagórica es una lista de tres números enteros positivos: a, b y c, donde se cumple que a² + b² = c². Un ejemplo sencillo son los números enteros 3, 4 y 5, pero los valores que presenta Plimpton 322 a menudo son considerablemente mayores, como los que refleja en su primera fila, donde aparece el triplete 119, 120 y 169.

El nombre de esta terna se deriva del teorema de Pitágoras, que para un triángulo rectángulo establece que el cuadrado de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) es la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

“Los babilonios conocían los triples pitagóricos mucho antes de que naciera Pitágoras, como se puede ver en esta y otras tablillas”, señala Mansfield a Sinc, y destaca: “Además nos enseñan cómo hacer trigonometría sin usar los ángulos, una trigonometría mucho más simple que no requiere conceptos avanzados como ángulos o números irracionales”.

La desconocida trigonometría que describe la tablilla para los triángulos rectángulos se basa en ratios o relaciones, no en ángulos ni círculos. Según los autores, es una obra matemática fascinante que demuestra el genio de sus creadores: "La tablilla no sólo contiene la tabla trigonométrica más antigua del mundo, sino que también es la única completamente precisa, debido al diferente enfoque babilónico de la aritmética y la geometría”.

El estudio (aquí), que se publica en Historia Mathematica (la revista oficial de la Comisión Internacional de Historia de las Matemáticas), apunta la predilección de los babilónios por la precisión de los números, y compara la tablilla con la llamada tabla de senos de Madhava (construida en el siglo XIV por este matemático y astrónomo indio), demostrando que Plimpton 322 es una tabla trigonométrica “exacta y potente”.

Las tablas trigonométricas permiten usar la información de un lado de un triángulo rectángulo para determinar la de los otros dos. Hasta ahora se consideraba al astrónomo griego Hiparco, que vivió alrededor de 120 años antes de Cristo, como el padre de la trigonometría, y a su 'tabla de cuerdas' como la tabla trigonométrica más antigua.

"Pero Plimpton 322 precede a Hiparco en más de 1.000 años", insiste el otro autor, el profesor Norman Wildberger, quien considera que gracias a esta tablilla se abren nuevas posibilidades no sólo para la investigación matemática moderna, sino también para la educación matemática: "Nos ofrece una trigonometría más simple, más precisa, que tiene claras ventajas sobre la nuestra".

El mundo antiguo enseñando algo nuevo

"Esto significa que tiene gran relevancia para nuestro mundo moderno”, añade Mansfield por su parte. “La matemática babilónica puede no haber estado de moda durante más de 3.000 años, pero hoy tiene posibles aplicaciones prácticas en topografía, gráficos por ordenador y en el campo de la educación. Es un raro ejemplo del mundo antiguo enseñándonos algo nuevo".

"Plimpton 322 era una herramienta poderosa que podría haber sido utilizada en la topografía de los campos o para los cálculos arquitectónicos en la construcción de palacios, templos o pirámides escalonadas", aventura Mansfield, aunque reconoce a Sinc que, en realidad, “es difícil decirlo con seguridad, porque nuestra ventana a ese mundo es muy pequeña: sólo podemos echar un vistazo y decir lo que parece ser”.

En cualquier caso, los autores descartan que, como se pensaba hasta ahora, la tablilla sirviera simplemente para que los profesores de la época comprobarán las soluciones de los estudiantes a la hora de resolver problemas de ecuaciones cuadráticas.

Plimpton 322, que se cree procede de la antigua ciudad sumeria de Larsa (a unos 250 km. al sur de Bagdad), actualmente se conserva en la Biblioteca de Manuscritos y Libros Raros de la Universidad de Columbia en Nueva York.

"Existe un tesoro de tablillas babilónicas como esta, pero sólo se ha estudiado una parte. El mundo matemático está empezando a descubrir que la antigua, aunque muy sofisticada, cultura matemática de los babilonios todavía tiene mucho que enseñarnos", concluye Wildberger.

Fuente: Agencia SINC, 24 de agosto de 2017

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Descubren una misteriosa inscripción escrita en griego que alude al emperador romano Justiniano I en Jerusalén

La inscripción dice: “El más piadoso emperador romano Flavio Justiniano y el sacerdote y abad que más ama a Dios, Constantino, levantaron este edificio en la decimocuarta indicción”.
Un mosaico de alrededor de 1500 años con una inscripción en griego casi intacta fue descubierto durante los trabajos de instalación de cableado de telecomunicaciones al norte de la Ciudad Vieja de Jerusalén.

La inscripción, descifrada por la Dra. Leah di Segni de la Universidad Hebrea de Jerusalén, cita al famoso emperador Justiniano I o El Grande que rigió el Imperio Bizantino (o de acuerdo a la perspectiva, el aún entonces y hasta el año de 1453, Imperio Romano) en el siglo VI, así como a un sacerdote cristiano de nombre Constantino.

A Justiniano I se le considera el “último” emperador romano, en una época en la que la historiografía lo llama ya Imperio Bizantino y no Romano; cuando el centro de poder político y económico ya no era Roma sino Constantinopla (la actual Estambul, Turquía); y cuando la lengua hablada por sus habitantes pasó del latín al griego. Él fue el último emperador bizantino en tener como idioma materno al latín.

Su deseo siempre fue restablecer al Imperio Romano desde la Península Ibérica hasta el Medio Oriente como en la época clásica, cosa que logró de manera efímera. Su obra material más famosa es la Iglesia de Santa Sofía que hoy es un punto turístico muy importante en Estambul, así como el haber establecido la codificación del derecho romano existente, punto de partida histórico para los sistemas jurídicos de diversos países de Europa y Latinoamérica.

Di Segni presume que la inscripción fue escrita para conmemorar la fundación del edificio por parte del sacerdote. La palabra “indicción” se usaba como un método para contar los años con propósitos fiscales. Se piensa que el mosaico corresponde al piso de un hostal para peregrinos que sirvió durante el gobierno del emperador Justiniano.

Para David Gellman, de la Autoridad de Antigüedades de Israel (AAI) y quien supervisó la excavación, esto fue como haber encontrado “una carta directa de alguien de hace 1500 años“.
“La excavación en un área extremadamente pequeña expuso restos antiguos que fueron muy dañados por trabajos de infraestructura en las últimas décadas. Estábamos a punto de cerrar la excavación cuando de repente, entre las tuberías y los cables dimos con la esquina del mosaico. ¡El corazón se me salía del pecho!” comentó Gellman durante la conferencia de prensa en la que se presentó el descubrimiento en el Museo Rockefeller de Jerusalén y quien considera que esto es el pináculo de su carrera como arqueólogo.

David Gellman posa junto al mosaico.

Para Gellman, el establecimiento de un albergue para peregrinos por el emperador Justiniano el Grande en el camino de Damasco indica la importancia de Jerusalén para el Imperio Bizantino.
De la misma manera, el equipo de Gellman encontró restos de uno de los muros del albergue, fragmentos de alfarería y otros tipos de utensilios, así como 3 monedas bizantinas del siglo VI.
De acuerdo a la AAI y a Di Segni, el nuevo mosaico es de la misma índole del descubierto también en Jerusalén en la década de los años 70 en la llamada Nea Ekklesia, que Justiniano construyó dedicada a Maria, la madre de Jesús.

Tal como en el reciente descubrimiento, los nombres de Justiniano como el del sacerdote Constantino aparecen en la inscripción de Nea Ekklesia, lo que da pistas de la influencia que tenía este último en Jerusalén.

La inscripción descubierta en la Nea Ekklesia en 1970.

Fuente: The Times of Israel / Reproducción autorizada con la mención siguiente: ©EnlaceJudíoMéxico

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Machu Picchu: Su génesis, su auge, su ocaso

Machupicchu, esa hermosa y mágica ciudadela construida en la cima de una montaña del Perú, ha hecho historia en el mundo desde su “descubrimiento” por el profesor norteamericano Hiram Bingham y, más aún, desde que se le reconoció Maravilla Mundial. Sin embargo, su verdadera historia permaneció, hasta ahora, desconocida. Sólo se estudió y se investigó la estructura arquitectónica de la ciudadela, se atribuyó su construcción, sin mayores pruebas, al Inka Pachakuteq y se especuló mucho sobre su origen  funciones y ocaso. Actualmente se discute si es propiedad privada de unos ricos agricultores cusqueños o es un bien cultural que pertenece al Estado peruano.

Hoy me permito presentar ante el pueblo del Perú el primer resultado de mi investigación sobre la real historia de Machupicchu donde intento  demostrar básicamente tres hipótesis: 1) Que fue el Inka Wiraqocha quien ordenó la construcción de Machupicchu y no el Inka Pachakuteq. 2) Que cumplía una función eminentemente religiosa pues era la “mansión sagrada” y temporal del Dios-Rey Wiraqocha; y 3) que su ocaso se debió a la orden del Inka Pachakuteq para su despoblamiento, su abandono y su perpetuo olvido. Para llegar a estos nuevos planteamientos ha sido necesario conocer e investigar la vida y la obra de los reyes inkas del Perú desde el mítico Manco Kapac  hasta Tupac Amaru II y, para el caso específico de Machupicchu hurgar en la vida de Titu Kusi Wallpa, Quichka Tupac y Titu Kusi Yupanqui. El largo trajinar en la biografía de los gobernantes inkas (Ver mi libro: Los reyes inkas del Perú) me permitió avizorar, por “cuerda separada”, la real historia de Machupicchu.

 Examinemos la primera hipótesis. En primer lugar, el inicio de la edificación de Machupicchu se realizó aproximadamente entre los años 1385-86, es decir, cuando Pachakuteq (1387-1471) era todavía un niño. Su construcción debe haber durado unos 20 o 30 años de rudo trabajo de miles de campesinos esclavizados (Yanakunas y mitmakunas).

En segundo lugar, y esta evidencia es irrefutable, Wiracocha el Inka adoptó como su ascendiente y protector (Tótem) al Cóndor, ave majestuosa y tradicional de los andes peruanos he hizo que en el Cusco se le representara y rindiera culto en una peña llamada “Kunturqaqa” (La peña del Cóndor) tal como lo describe Garcilaso en sus Comentarios Reales. Asimismo, ordenó a sus arquitectos e ingenieros que diseñen la construcción de la ciudadela en lo más alto del “cerro viejo” dándole  forma de la mencionada ave andina tal como puede apreciarse en las fotografías tomadas desde la cima de Wayna Picchu. Ordenó también la construcción, cerca al Templo del Sol, de un templo dedicado especialmente a la veneración del ave (El templo del Cóndor).

Veamos brevemente la biografía del inka Wiracocha (1355 – 1435). Fue el octavo gobernante del Estado cusqueño y sus padres fueron Yawar Waqaq y Choque Chiqlla Yupay. Su nombre original fue Kichka Tupac (Blas Valera). Fue erigido rey del Cusco después del asesinato de su padre por los insurreccionados Condesuyos. Luego de asumir plenamente el poder inició la expansión político militar de su Estado hacia la zona norte del Cusco llegando hasta un lugar extraño donde observó la existencia de tres cerros: Uno pequeño, otro muy empinado y el tercero semiplano: los llamó Uchuy Picchu (Cerro pequeño), Wayna Picchu (Cerro joven) y Machu Picchu (Cerro viejo) respectivamente. De vuelta al Cusco luego de sus exitosas conquistas y haber extendido su Estado cambió su nombre por el de Qatun Tupac (Tupac el Grande). Luego de aproximadamente 10 años de haber consolidado su poder en el Cusco y de haber remozado la ciudad se hizo llamar Wiracocha arguyendo que el mismo Dios principal de los Inkas se le había presentado en sueños y designado dios en la tierra autorizándole adoptar su propio nombre. Es decir, por propia decisión se trasformó en Dios y Rey al mismo tiempo.

Fue durante aquellos años que ideó, planificó y ordenó la construcción de una ciudadela sagrada, en honor del Dios Wiracocha, el mismo, destinado para su tranquilidad y descanso (Aukasamana). Ordenó la construcción de un hermoso templo-palacio para él y templos para el dios sol (Inti), para la diosa luna (Killa), para el cóndor, etc.; asimismo aposentos especiales para los sacerdotes y las sacerdotisas (Aqllakuna) al servicio del dios sol y del inka; habitaciones para los astrónomos, ingenieros y arquitectos, etc. En los alrededores se levantaron pequeños cuarteles para la guardia del Inka y para la custodia de la ciudadela. Así surgió y llegó a su apogeo lo que hoy conocemos como la mágica y misteriosa ciudadela de Machupicchu.

Pero fueron pocos los años que el dios-rey Wiracocha pudo gozar de las bondades de la “ciudad sagrada”. Su hijo el príncipe Kusi Yupanqui luego de su circunstancial conversión en rey del Cusco, luego de la batalla con el poderoso ejército de los Chancas encabezado por Uscovilca, y de la muerte de su padre ordenó la desocupación total de la ciudadela y su olvido permanente. Veamos qué motivó éste extraño comportamiento de Titu Kusi Yupanqui, hoy conocido con el sobrenombre de Pachakuteq.  Wiracocha y Pachakuteq, padre e hijo, desde muy temprano cobijaron un odio profundo entre ellos. La fuerte personalidad del niño y adolescente Titu Kusi Yupanqui intranquilizó demasiado a su padre y al no poder controlar su conducta conflictiva y belicosa con los hijos de los otros nobles (Rompía brazos y piernas y dejaba  mal heridos, en sus juegos, con otros niños y adolescentes) y por transgredir las reglas del Warachikuy, lo castigó desterrándolo a un páramo llamado Chita para que viva con los esclavos pastores de llamas (Llamamichiq). Mientras tanto en el Cusco Wiracocha había nombrado como su sucesor a Urko, hijo en su hermosa concubina Qori Chulpi (Maicito de oro). Esto acrecentó el odio de Kusi hacia su padre y más aún cuando el ejército de Uscovilca, rey del poderoso  Estado confederado Chanka – Pokra – Wanka, cercó al Cusco e instó a Wiracocha su rendición quien huyó cobardemente a refugiarse en su ciudadela sagrada (que hoy conocemos como Machupicchu).

Luego del resonante y sorpresivo triunfo de Kusi sobre Uscovilca, su padre, lejos de recompensarlo con la sucesión, lo menosprecio y persistió en su hijo bastardo Urko como nuevo rey del Estado cusqueño. Wiracocha y Urko, no conformes con el manifiesto desprecio al victorioso Kusi, complotaron para asesinarlo. Alertado del complot por sus espías Kusi retornó apresuradamente al Cusco. Luego de algunos años padre e hijo se volvieron a encontrar en el Cusco donde Wiracocha, al ver la gran transformación de la ciudad, lo llamó Pachakutiq (“Transformador del mundo”).
Ese mismo día Kusi cobró venganza con su padre: le arrancó la corona de rey de la cabeza y se la colocó a sí mismo asumiendo desde ese momento el reinado del Cusco (1445?). Sus primeras dos ordenanzas fueron: 1) Que Wiracocha pida arrodillado perdón a los nobles y a la ciudad del Cusco por su insólito y cobarde abandono ante la arremetida de los chankas; y 2) Desterrarlo a vivir hasta su muerte en su ciudadela llamada lugar de “tranquilidad y descanso” (Aukasamana), es decir, Machupicchu.  Al fallecimiento de Wiracocha, su hijo ahora rey Pachakuteq ordenó el despoblamiento y total desalojo y olvido de la ciudadela donde su odiado padre pasó sus últimos días. Todos los tesoros de Machupicchu (Oro, plata, orfebrería, cerámica, textilería, etc.) fueron transportados al Cusco  Se saqueó, destruyó e incendió todo lo de menor valor y se abandonó para siempre la ciudadela. Quienes ofrecieron resistencia (sacerdotes, aqllas, guardias, etc.) fueron muertos Ello explica el por qué existe evidencia de destrucción e incendios; asi como de numerosos cadáveres en el lugar. Explica también el por qué el 90% de lo que H. Bingham se llevó a la Universidad de Yale fueron sólo “fragmentos” (Afirmación sostenida por el Dr. Luis G. Lumbreras).

Finalmente,  cuando Pachakuteq  ordenó  el desalojo de Machupicchu (o tal vez antes) dispuso la construcción de otra ciudadela para su lugar de descanso y recreo. Eligió un sitio cercano y con características geomorfológicas similares a Machupicchu y solicitó a sus arquitectos e ingenieros diseñen la ciudadela dándole la forma de un puma, su tótem preferido. Una vez construida la mencionada ciudadela  le dio el nombre de Choquequirao (Cuna de oro), nombre en honor de su abuela Choque Chiqlla Yupay (Joya de oro muy preciada). y trasladó todo el oro, plata y demás ornamentos (orfebrería, ceramios y textiles) de Machupicchu a Choquequirao para embellecer la ciudad. Esta nueva ciudadela se convirtió, casi cien años después, en el bastión de resistencia de los últimos inkas del Tawantinsuyo.  Fue el lugar donde por más de 36 años (1536 – 1572)  los destronados reyes inkas (Manko, Sayri Tupac, Titu Kusi Yupanqui y Tupac Amaru I) ofrecieron tenaz resistencia a los invasores europeos. Después de la despiadada ejecución de Tupac Amaru (I), de su esposa e hijos por los españoles, la ciudadela fue abandonada, sus hermosas edificaciones paulatinamente se deterioraron y fueron cubiertas por una densa vegetación. Una pequeña parte del oro y la plata de Choquequirao pasaron a cubrir el rescate que Atao Wallpa pagó a Pizarro y la mayor parte de los valiosos objetos fueron  sigilosamente transportados a un lugar que permanece desconocido hasta hoy. Se cree que a ese lugar se le denominó “Paytiti”, nombre que alude el desprecio a la voracidad española y cuyo significado sería: “Dejar para ellos sólo plomo” y no oro ni tampoco plata.

♦♦♦♦♦

Por Julio Valdivia Carrasco
Catedrático universitario.
Profesor de Filosofía.
jvc400@hotmail.com

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Fecha: August 23, 2017 at 04:36PM

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